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| SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI
* PRIMO PASSAGGIO) FATTORIZZAZIONE TOTALE: Si vede se si può mettere qualche termine (monomio o polinomio) in evidenza tra tutti i termini del Polinomio (M.C.D)
Esempi) 36a2b2xy – 18abx2y2 + 30ab2x2y – 12 a2bxy2 = 6abxy(6ab-3xy+5bx-2ay);
a2(a+2b)2 - 3 a2(a2 +2ab) + 2 a3b +4 a2b2 = a2(a+2b)2 -3 a3(a+2b) +
+ 2 a2b(a+2b) = (a+2b) [a2(a+2b) – 3 a3 +2 a2b] = (a+2b)(4 a2b – 2 a3) =
* Se il Polinomio è un BINOMIO:
a) Si vede se è Differenza di quadrati – Ricordare che a2 – b2 = (a+b)(a-b);
b) Si vede se è Somma di cubi – Ricordare che a3 + b3 = (a+b)(a2-ab+b2);
c) Si vede se è Differenza di cubi – “ “ “ a3 – b3 = (a-b)(a2+ab+b2);
d) Si vede se è Somma di potenze dispari – “ “ a5 + b5 = (a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
e) Si vede se è Differenza di potenze dispari - a5 – b5 = (a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4).
* Se il Polinomio è un TRINOMIO:
a) Si vede se è un Quadrato di binomio (verificare se sono presenti 2 quadrati e il doppio prodotto delle 2 basi): a2-2ab+b2 = (a-b)2;
b) Si vede se è un Trinomio notevole, cioè è del tipo x2-sx+p=(x-x1)(x-x2), dove x1 e x2 sono i due numeri la cui somma è s e il prodotto è p. Esempio) Sia
2x2-5x+2 il polinomio da scomporre. Esso si può scrivere 2(x2-5/2x+1)=
=2(x-2)(x-1/2) essendo 2+1/2=5/2=s e 2*1/2=1=p
* Se il Polinomio è un QUADRINOMIO:
a) Si vede se è un Cubo di Binomio (verificare se sono presenti 2 cubi e 2 tripli
prodotti ). Es. a3+3 a2b+3ab2+b3 = (a+b)3; Altro esempio:
8x3-36x2y+54xy2-27y3 = (2x-3y)3;
b) Si vede se è una differenza tra un quadrato di binomio e un quadrato:
Es. 4x2-12xy+9y2-z2 = (2x-3y)2 – z2 = (2x-3y+z)(2x-3y-z);
c) Si vede se è scomponibile a gruppi di 2 termini :
a5+a3+a2+1 = a3(a2+1) +1(a2+1)= (a2+1)(a3+1)= (a2+1)(a+1)(a2-a+1);
d) Utilizzando la Regola di Ruffini. Si vuole scomporre a3+4 a2+a-6 .
Si cercano i divisori del numero Rapporto tra il termine noto e il coefficiente del termine di grado maggiore che in questo caso è -6/1= -6 . Si cerca tra le funzioni dei divisori quello che si annulla (Prova di Ruffini). Si ha f(1)=0; Applicando la Regola di Ruffini si ha che a3+4 a2+a-6 = (a-1)(a2+5a+6); Quest’ultimo Trinomio è notevole e applicando la regola relativa si ha che
a3+4 a2+a-6 = (a-1)(a2+5a+6) = (a-1)(a+2)(a+3)
* Se il Polinomio è composto da 6 termini:
a) Si vede se è Quadrato di trinomio: (Verificare se sono presenti 3 quadrati e 3 doppi prodotti delle basi). Es) a2+4ab+4b2-6ax-12bx+9x2 = (a+2b-3x)2
b) Si scompone a gruppi di 2 termini o a gruppi di 3 termini:
Es) 4x2+3xy+3y+4x-2z-2xz = 4x2+4x+3xy+3y-2z-2xz = 4x(x+1) +3y(x+1)-
-2z(x+1) = (x+1)(4x+3y-2z) ;
Secondo Esempio) 20ax-15bx-16ay+12by+10cx-8cy =
= 5x(4a-3b+2c) -4y(4a-3b+2c) = (4a-3b+2c)(5x-4y);
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